Question

6．已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=$\frac{3}{5}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n=1，2，…．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列；
（2）記S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，若S_n＜100，求最大正整數(shù)．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，取倒數(shù)可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，變形為$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，即可證明．
（2）由（1）知，$\frac{1}{{a}_{n}}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$+1，再利用等比數(shù)列的求和公式、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （1）證明：∵a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$$（\frac{1}{{a}_{n}}-1）$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$-1=$\frac{2}{3}$≠0，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
（2）解：由（1）知，$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$+1，
∴S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$=2×$\frac{\frac{1}{3}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$+n=1-$（\frac{1}{3}）^{n}$+n，
由S_n＜100，則n+1-$\frac{1}{3n}$＜100，所以n_max=99．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．