Question

12．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值為k．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=k$，求b（a+c）的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，即可求出k的值，
（2）根據(jù)基本不等式即可求出答案

解答 解：（1）由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥-1時，f（x）_max=f（1）=1-3=-4，
當(dāng)-1＜x＜1時，f（x）＜f（-1）=3-1=2，
當(dāng)x≤-1時，f（x）_max=f（-1）=-1+3=2，
所以k=f（x）_max=f（-1）=2，
（2）由已知$\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}+{b^2}=2$，有（a²+b²）+（b²+c²）=4，
因為a²+b²≥2ab（當(dāng)a=b取等號），b²+c²≥2bc（當(dāng)b=c取等號），
所以（a²+b²）+（b²+c²）=4≥2（ab+bc），即ab+bc≤2，
故[b（a+c）]_max=2．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法和基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題