Question

2．已知平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)P（-1，-2）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ•sinθ•tanθ=4m（m＞0），直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M，N．
（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（2）若|PM|=|MN|，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）化切為弦，兩邊同乘ρ，結(jié)合公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；直角把直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得其普通方程；
（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，求得M、N的橫坐標(biāo)，把|PM|=|MN|轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系求m值．

解答 解：（1）由ρ•sinθ•tanθ=4m，得ρsin²θ=4mcosθ，即ρ²sin²θ=4mρcosθ，
∴y²=4mx（m＞0），
故曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4mx（m＞0），
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+tcos{{45}°}}\\{y=-2+tsin{{45}°}}\end{array}}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，①
消去參數(shù)t得：x-y-1=0，
故直線l的普通方程為x-y-1=0；
（2）如圖，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{y}^{2}=4mx}\end{array}\right.$，得x²+（2-4m）x+1=0．
解得：${x}_{1}=2m-1-2\sqrt{{m}^{2}-m}$，${x}_{2}=2m-1+2\sqrt{{m}^{2}-m}$．
由題意可得：$2m-1-2\sqrt{{m}^{2}-m}+1$=$4\sqrt{{m}^{2}-m}$，解得m=$\frac{9}{8}$（m＞0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．