Question

13．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，點(diǎn)E是A₁D₁的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE∥平面BDF；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值的大�。�

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC交BD于G，連FG，推導(dǎo)出AE∥FG，由此能證明AE∥平面BDF．
（Ⅱ）分別以DC、DA、DD₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-DE-C的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連AC交BD于G，連FG．
∵ABCD是正方形，∴G是AC中點(diǎn)．
∵F是CE是中點(diǎn)，∴AE∥FG．
∵AE?平面BDF，F(xiàn)G?平面BDF，∴AE∥平面BDF．…（6分）
（Ⅱ）解：分別以DC、DA、DD₁所在直線為x，y，z軸，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（0，2，0），B（2，2，0），D₁（0，0，2），
A₁（0，2，2），E（0，1，2），C（2，0，0），
∴$\overrightarrow{DE}$=（0，1，2），$\overrightarrow{DC}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\end{array}\right.$，取z=-1，得$\overrightarrow{m}=（-2，2，-1）$，
設(shè)平面CDE的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=b+2c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=2a=0}\end{array}\right.$，取c=-1，得$\overrightarrow{n}=（0，2，-1）$，
cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴二面角B-DE-C的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．