Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（a∈R），f′（x）為f（x）的導函數(shù)．
（1）若f（x）＞xlnx在（0，+∞）內(nèi)恒成立，求a的取值范圍．
（2）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于直線y=ex+m，當x∈（t，t+2）時，其中，-2＜t＜0，討論函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{f′（x）}$的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，當x＞0時恒成立，這是一個不等式恒成立問題，所以構(gòu)造函數(shù)，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解；
（2）求出f（x）的導數(shù)，得到a=0，求出f′（x），求出g（x）的導數(shù)，通過討論t的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）由題意f（x）＞xlnx，（x＞0）可化為：
a＜$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，當x＞0時恒成立．
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-lnx-$\frac{1}{x}$，
則g′（x）=$\frac{（x-1）{（e}^{x}-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＞0，∴e^x-1＞0，所以當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，
當x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0，
故函數(shù)g（x）在（0，1）上遞減，在[1，+∞）上遞增，
g（x）_min=g（1）=e-1，
∴a＜e-1，
故a的范圍是（-∞，e-1）；
（2）f′（x）=e^x-a，f′（1）=e-a，
若f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于直線y=ex+m，
故f′（1）=e-a=e，解得：a=0，
∴f（x）=e^x-1，f′（x）=e^x，
∴g（x）=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{f′（x）}$=$\frac{{x}^{2}+3x+3}{{e}^{x}}$，
g′（x）=-$\frac{x（x+1）}{{e}^{x}}$，
令g′（x）＞0，解得：-1＜x＜0，令g′（x）＜0，解得：x＞0或x＜-1，
-2＜t＜-1時，g（x）在（t，-1）遞減，在（-1，0）遞增，在（0，t+2）遞減，
-1≤t＜0時，g（x）在（t，0）遞增，在（0，t+2）遞減．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．