Question

5．在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），且曲線C上的點M（2，$\sqrt{3}$）對應的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求曲線C的普通方程；
（2）若A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲線C上的兩點，求$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a，b，即可得出橢圓的標準方程．
（2）A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲線C上的兩點，可得${ρ}_{1}^{2}（\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}）=1$，${ρ}_{2}^{2}（\frac{si{n}^{2}θ}{16}+\frac{co{s}^{2}θ}{4}）=1$，化簡整理即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{2=acos\frac{π}{3}}\\{\sqrt{3}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2．
∴曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）是曲線C上的兩點，
可得直角坐標（ρ₁cosθ，ρ₁sinθ），（-ρ₂sinθ，ρ₂cosθ），
代入橢圓標準方程可得：${ρ}_{1}^{2}（\frac{co{s}^{2}θ}{16}+\frac{si{n}^{2}θ}{4}）=1$，${ρ}_{2}^{2}（\frac{si{n}^{2}θ}{16}+\frac{co{s}^{2}θ}{4}）=1$．
∴$\frac{1}{ρ_1^2}$+$\frac{1}{ρ_2^2}$=$\frac{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}{16}$+$\frac{si{n}^{2}θ+co{s}^{2}θ}{4}$=$\frac{1}{16}+\frac{1}{4}$=$\frac{5}{16}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標方程化為直角坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．