Question

11．已知函數(shù)f（x）=2|x+1|-|x-1|．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1圍成的封閉圖形的面積m；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若（a，b）（a≠b）是函數(shù)g（x）=$\frac{m}{x}$圖象上一點(diǎn)，求$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，數(shù)形結(jié)合可得函數(shù)f（x）的圖象和直線y=1圍成的封閉圖形的面積m的值．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，由題意化簡(jiǎn)要求的式子，分類討論，利用基本不等式，求得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=2|x+1|-|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≤-1}\\{3x+1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≥1}\end{array}\right.$，它的圖象如圖所示：
函數(shù)f（x）的圖象與直線y=1的交點(diǎn)為（-4，1）、（0，1），
故函數(shù)f（x）的圖象和直線y=1圍成的封閉圖形的面積
m=$\frac{1}{2}$•4•3=6．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，若（a，b）（a≠b）是函數(shù)g（x）=$\frac{m}{x}$圖象上一點(diǎn)，
則b=$\frac{6}{a}$，故$\frac{6}{a}$≠a，且 $\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{36}{{a}^{2}}}{a-\frac{6}{a}}$=$\frac{{（a-\frac{6}{a}）}^{2}+12}{a-\frac{6}{a}}$=（a-$\frac{6}{a}$）+$\frac{12}{a-\frac{6}{a}}$．
當(dāng) a-$\frac{6}{a}$＞0時(shí)，故 $\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{36}{{a}^{2}}}{a-\frac{6}{a}}$=（a-$\frac{6}{a}$）+$\frac{12}{a-\frac{6}{a}}$≥2$\sqrt{12}$=4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)（a-$\frac{6}{a}$）=$\frac{12}{a-\frac{6}{a}}$ 時(shí)，取等號(hào)．
當(dāng) a-$\frac{6}{a}$＜0時(shí)，故 $\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$=$\frac{{a}^{2}+\frac{36}{{a}^{2}}}{a-\frac{6}{a}}$=（a-$\frac{6}{a}$）+$\frac{12}{a-\frac{6}{a}}$=-[-（a-$\frac{6}{a}$）-$\frac{12}{a-\frac{6}{a}}$]≤-2$\sqrt{12}$=-4$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)-（a-$\frac{6}{a}$）=-$\frac{12}{a-\frac{6}{a}}$ 時(shí)，取等號(hào)．
綜上可得，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$≥4$\sqrt{3}$，或 $\frac{{a}^{2}+^{2}}{a-b}$≤-4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．