Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)，的“切比雪夫距離”，又設(shè)點(diǎn)及上任意一點(diǎn)，稱(chēng)的最小值為點(diǎn)到直線的“切比雪夫距離”，記作，給出下列三個(gè)命題：

①對(duì)任意三點(diǎn)、、，都有；

②已知點(diǎn)和直線：，則；

③到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點(diǎn)的軌跡是正方形.

其中正確的命題有（ ）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

Answer 1

【答案】C

【解析】

①討論，，三點(diǎn)共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，可得，，討論，的大小，可得距離，再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

③設(shè)定點(diǎn)，且相等距離為1，從而可判斷出命題的真假.

① 對(duì)任意三點(diǎn)、、，若它們共線，設(shè)，、，，，，如圖，結(jié)合三角形的相似可得，，為，，，或，，，則；

若，或，對(duì)調(diào)，可得；

若，，不共線，且三角形中為銳角或鈍角，如圖，

由矩形或矩形，

；

則對(duì)任意的三點(diǎn)，，，都有，故①正確；

②設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，

可得，，

由，解得，即有，

當(dāng)時(shí)，取得最小值；

由，解得或，即有，

的范圍是，無(wú)最值；

綜上可得，，兩點(diǎn)的“切比雪夫距離”的最小值為；故②正確；

③假設(shè)定點(diǎn)，到定點(diǎn)的距離和到的“切比雪夫距離”相等且距離為1的點(diǎn)為，則到定點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的軌跡為單位圓；到的“切比雪夫距離”的距離為1的點(diǎn)，所以，即或顯然點(diǎn)的軌跡為正方形，所以只有四個(gè)點(diǎn)符合要求，故③錯(cuò)誤；

故選：C