Question

5．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦點(diǎn)，G是雙曲線C上一點(diǎn)，且滿足|GF₁|-7|GF₂|=0，則C經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]
• B． （0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• C． （$\sqrt{2}$，$\frac{5}{3}$]
• D． （$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{13}}{3}$]

Answer 1

分析 設(shè)G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，注意到x₀≥a．由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，利用|GF₁|-7|GF₂|=0，可得a+ex₀=7（ex₀-a），x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)G點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，注意到x₀≥a．
由雙曲線第二定義得：|GF₁|=a+ex₀，|GF₂|=ex₀-a，
∵|GF₁|-7|GF₂|=0，
∴a+ex₀=7（ex₀-a），
∴x₀=$\frac{4a}{3e}$≥a，
∴1＜e≤$\frac{4}{3}$，
∴0＜$\frac{a}$≤$\frac{\sqrt{7}}{3}$，
∴C經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線的斜率的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{7}}{3}$]．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力．