Question

6．若函數(shù)f（x）=|x²-k|的圖象與函數(shù)g（x）=x-3的圖象至多一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，3]
• B． [9，+∞）
• C． （-∞，9]
• D． （-∞，9）

Answer 1

分析 通過(guò)①當(dāng)k≤0時(shí)，聯(lián)立方程組，根據(jù)判別式△＜0，可得兩個(gè)函數(shù)的圖象無(wú)交點(diǎn)，故滿足條件．②當(dāng)k＞0時(shí)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得 0＜$\sqrt{k}$≤3，由此求得k的范圍．綜合①②可得k的范圍．

解答 解：①當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=|x²-k|=x²-k，由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-k}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，可得x²-x+3-k=0．
由于判別式△=1-4（3-k）=-11+4k＜0，故x²-3x+3-k=0無(wú)解，
故函數(shù)f（x）=|x²-k|的圖象與函數(shù)g（x）=x-3的圖象無(wú)交點(diǎn)，故滿足條件．
②當(dāng)k＞0時(shí)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)f（x）=|x²-k|的圖象（紅線部分）
與函數(shù)g（x）=x-3的圖象（綠線部分），
如圖所示：
此時(shí)，若函數(shù)f（x）=|x²-k|的圖象與函數(shù)g（x）=x-3的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，
則有 0＜$\sqrt{k}$≤3，∴0＜k≤9．
綜合①②可得，k≤9，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，體現(xiàn)了分類討論以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．