Question

8．某單位生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，需要資金和場地，生產(chǎn)每噸A種產(chǎn)品和生產(chǎn)每噸B種產(chǎn)品所需資金和場地的數(shù)據(jù)如表所示：

資源 產(chǎn)品	資金（萬元）	場地（平方米）
A	2	100
B	3	50

現(xiàn)有資金12萬元，場地400平方米，生產(chǎn)每噸A種產(chǎn)品可獲利潤3萬元；生產(chǎn)每噸B種產(chǎn)品可獲利潤2萬元，分別用x，y表示計劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的噸數(shù)．
（1）用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（2）問A、B兩種產(chǎn)品應(yīng)各生產(chǎn)多少噸，才能產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出約束條件，畫出可行域即可．
（2）寫出目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃知識求解即可．

解答 解：（1）由已知，x，y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}2x+3y≤12\\ 100x+50y≤400\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x+3y≤12\\ 2x+y≤8\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$
該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域為下圖的陰影部分：

（2）設(shè)利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z=3x+2y．
將其變形為$y=-\frac{3}{2}x+\frac{z}{2}$，這是斜率為$-\frac{3}{2}$，隨z變化的一族平行直線，$\frac{z}{2}$為直線在y軸上的截距，當(dāng)$\frac{z}{2}$取最大值時，z的值最大．
因為x，y滿足約束條件，
所以當(dāng)直線z=3x+2y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)M時，截距$\frac{z}{2}$最大，即z最大，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=12\\ 2x+y=8\end{array}\right.$得點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，2），
∴z_max=3×3+2×2=13．
答：生產(chǎn)A種產(chǎn)品3噸、B種產(chǎn)品2噸時，利潤最大為13萬元．

點(diǎn)評 本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查計算能力．