Question

6．已知圓C的方程為x²+y²-2x+4y-3=0，直線l：x-y+t=0．
（1）若直線l與圓C相切，求實數t的值；
（2）若直線l與圓C相交于M，N兩點，且|MN|=4，求實數t的值．

Answer 1

分析 （1）把圓C的方程x²+y²-2x+4y-3=0化為標準方程為（x-1）²+（y+2）²=8，得到圓心為C（1，-2）和半徑，由圓心C到直線l的距離等于圓的半徑列出方程，求解即可得實數t的值；
（2）由（1）知，圓心到直線l的距離$d=\frac{|3+t|}{\sqrt{2}}$，且|MN|=4，r²=8，解得d，進一步求出實數t的值．

解答 解：圓C的方程x²+y²-2x+4y-3=0化為標準方程為（x-1）²+（y+2）²=8，
故圓心為C（1，-2），且半徑$r=2\sqrt{2}$，
（1）∵直線l與圓C相切，∴圓心C到直線l的距離等于圓的半徑，
即$\frac{|1-（-2）+t|}{\sqrt{1+（-1）^{2}}}=2\sqrt{2}$，整理得|3+t|=4，解得t=1或t=-7；
（2）由（1）知，圓心到直線l的距離$d=\frac{|3+t|}{\sqrt{2}}$，
又|MN|=$2\sqrt{{r}^{2}-3ftfp95^{2}}=4$，r²=8，解得d=2，∴$\frac{|3+t|}{\sqrt{2}}=2$即$t=-3±2\sqrt{2}$．

點評 本題考查了圓的切線方程，考查了點到直線的距離公式的應用，是中檔題．