Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²+lnx-x，a∈R且a≠0．
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當(dāng)x＞1時，f（x）＜2ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值即可；
（2）令g（x）=f（x）-2ax，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時，函數(shù)f（x）=-x²+lnx-x，x∈（0，+∞），
$f'（x）=-2x+\frac{1}{x}-1=-\frac{{2{x^2}+x-1}}{x}=-\frac{{（{2x-1}）（{x+1}）}}{x}$，
當(dāng)f'（x）＞0時，$0＜x＜\frac{1}{2}$，當(dāng)f'（x）＜0時，$x＞\frac{1}{2}$，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為$（{0，\frac{1}{2}}）$，單調(diào)減區(qū)間為$（{\frac{1}{2}，+∞}）$，
當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時，函數(shù)f（x）取極大值$f（{\frac{1}{2}}）=-\frac{3}{4}-ln2$，無極小值．
（2）令g（x）=f（x）-2ax=ax²+lnx-（1+2a）x，
根據(jù)題意，當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（x）＜0恒成立，
$g'（x）=2ax-（{2a+1}）+\frac{1}{x}=\frac{{（{2ax-1}）（{x-1}）}}{x}$，
①當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$，$x∈（{\frac{1}{2a}，+∞}）$時，g'（x）＞0恒成立，
所以g（x）在$（{\frac{1}{2a}，+∞}）$上是增函數(shù)，且$g（x）∈（{g（{\frac{1}{2a}}），+∞}）$，所以不符合題意；
②當(dāng)$a≥\frac{1}{2}$，x∈（1，+∞）時，g'（x）＞0恒成立，
所以g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，且g（x）∈（g（1），+∞），所以不符合題意；
③當(dāng)a＜0時，x∈（1，+∞），恒有g(shù)'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，
于是“g（x）＜0對任意x∈（1，+∞）都成立”的充要條件是g（1）≤0，
即a-（2a+1）≤0，解得a≥-1，故-1≤a＜0，
綜上，a的取值范圍是[-1，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．