Question

9．甲、乙兩人進行圍棋比賽，每局比賽甲勝的概率為$\frac{1}{3}$，乙勝的概率為$\frac{2}{3}$，規(guī)定某人先勝三局則比賽結束，求比賽局數(shù)X的分布列和均值．

Answer 1

分析 由題意知X的所有可能取值為3，4，5，計算對應的概率值，
寫出X的分布列，計算數(shù)學期望（均值）．

解答 解：由題意知，X的所有可能取值是3，4，5；
則P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×${（\frac{1}{3}）}^{3}$+${C}_{3}^{3}$×${（\frac{2}{3}）}^{3}$=$\frac{1}{3}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+${C}_{3}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{10}{27}$，
P（X=5）=${C}_{4}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×$\frac{1}{3}$+${C}_{4}^{2}$×${（\frac{2}{3}）}^{2}$×${（\frac{1}{3}）}^{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{8}{27}$；
∴X的分布列為：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{10}{27}$	$\frac{8}{27}$

數(shù)學期望（均值）為E（X）=3×$\frac{1}{3}$+4×$\frac{10}{27}$+5×$\frac{8}{27}$=$\frac{107}{27}$．

點評 本題考查 了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的應用問題，是綜合題．