Question

1．已知函數(shù)f（x）=$2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）+2$．
（1）求f （x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）求f （x） 的最大值和最小值及相應(yīng)的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式求解即可，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最大值和最小值，及相應(yīng)的x的取值集合

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）+2$．
∴函數(shù)f （x）的最小正周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{2}}$=4π，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，
得：$\frac{2π}{3}+4kπ$≤x≤$\frac{8π}{3}+4kπ$，
∴函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{2π}{3}+4kπ$，$\frac{8π}{3}+4kπ$]，k∈Z，
（2）∵當(dāng)$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ時(shí)，即x=4kπ$+\frac{2π}{3}$，可得：sin（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$）的最大值為1，∴f （x） 的最大值2×1+2=4；
相應(yīng)的x的取值集合為{x|x=4kπ$+\frac{2π}{3}$，k∈Z}．
當(dāng)$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$+2kπ時(shí)，即x=4kπ$+\frac{8π}{3}$，可得：sin（$\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}$）的最小值為-1，∴f （x） 的最大值-2×1+2=0；
相應(yīng)的x的取值集合為{x|x=4kπ$+\frac{8π}{3}$，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．