已知矩形，，點是的中點，將△沿折起到△的位置，使二面角是直二面角.


(1)證明：⊥面；
(2)求二面角的余弦值.
(1)證明見解析；(2).

試題分析：（1）一般是通過證明線面垂直得到線線垂直，即證明其中一條直線與另一條直線所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空間直角坐標系利用向量的一個運算求出兩個平面的法向量，進而求出二面角的余弦值.
試題解析：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．
又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’                 4分
(2)法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC
垂足為F，連接D’M，D'F,則D'M⊥EC.
∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC
∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：D'F⊥BC
∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．    8分
在Rt△D'MF中，,
,
∴二面角D’-BC—E的余弦值為                    12分，
法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系．

則
設平面BEC的法向量為；平面D'BC的法向量為
,
    取x2=l
得
∴二面角D'-BC-E的余弦值為      12分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AB為圓O的直徑，點E、F在圓O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面與圓O所在的平面互相垂直，已知AB＝2，AD＝EF＝1．

（Ⅰ）設FC的中點為M，求證：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）設平面CBF將幾何體EF-ABCD分割成的兩個錐體的體積分別為VF-ABCD、VF-CBE，求VF-ABCD：VF-CBE的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

給出以下結論：
①有兩個側面是矩形的棱柱是直棱柱；
②各側面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；
③對角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長方體；
④一個三棱錐四個面可以都為直角三角形；
⑤長方體一條對角線與同一個頂點的三條棱所成的角為，則.
其中正確的是            .（將正確結論的序號全填上）

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已知正方體的體對角線為，點在題對角線上運動（動點不與體對角線的端點重合）現(xiàn)以點為球心，為半徑作一個球，設，記該球面與正方體表面積的交線長度和為，則函數(shù)的圖象最有可能是（   ）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

一個三棱錐P－ABC的三條側棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，且長度分別為1、、      3，則這個三棱錐的外接球的表面積為 （   ）
A.       B.        C.        D.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD,BC=CD=4,AB=AD=，則三棱錐A-BCD的外接球的大圓面積為（    ）
A．B．C．D．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，已知球是棱長為的正方體的內(nèi)切球，則平面截球的截面面積為           .

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

在棱長為1的正方體AC1中，點P為側面BB1C1C內(nèi)一動點(含邊界)，若動點P始終滿足PA⊥BD1，則動點P的軌跡的長度為________．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

一個正四棱錐和一個正四面體的所有棱長都相等，將它們的一個三角形重合在一起，組成一個新的幾何體，則新幾何體是（    ）
A．五面體B．六面體C．七面體D．八面體

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