Question

9．已知圓F₁：（x+1）²+y²=t²，圓F₂：（x-1）²+y²=（2$\sqrt{2}$-t）²，0＜t＜2$\sqrt{2}$，當(dāng)兩個(gè)圓有公共點(diǎn)時(shí)，所有可能的公共點(diǎn)組成的曲線記為C．
（1）求出曲線C的方程；
（2）已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，$\sqrt{3}$），M、N、P為曲線C上不同三點(diǎn)，$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=μ$\overrightarrow{a}$，求△PMN面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知，兩圓公共點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓；
（2）求出|MN|，P到直線l_MN的距離的最大值，即可求△PMN面積的最大值．

解答 解：（1）曲線C上的點(diǎn)滿足|PF₁|+|PF₂|=2$\sqrt{2}$＞|F₁F₂|=2，∴曲線C是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓
∴a=$\sqrt{2}$，c=1，b=1，
∴曲線C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$-----------（4分）
（2）∵$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=λ$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=μ$\overrightarrow{a}$，∴M，N，F(xiàn)₂三點(diǎn)共線，且直線l_MN的斜率為$\sqrt{3}$
∴直線l_MN的方程為$y=\sqrt{3}（{x-1}）$
與橢圓方程聯(lián)立得7x²-12x+4=0
∴$|{MN}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{8\sqrt{2}}}{7}$-----------（8分）
設(shè)$P（{\sqrt{2}cosθ，sinθ}）$，
∴P到直線l_MN的距離$d=\frac{{|{\sqrt{6}cosθ-sinθ-\sqrt{3}}|}}{2}=\frac{{|{\sqrt{7}sin（{θ+φ}）-\sqrt{3}}|}}{2}$
∴${d_{max}}=\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{2}$，∴S_△MNP的最大值為$\frac{{2\sqrt{14}+2\sqrt{6}}}{7}$-----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的方程及其性質(zhì)，橢圓的定義及直線與橢圓的位置關(guān)系及其處理方法，屬于常規(guī)題．