Question

12．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，若向量$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|≤1，則|$\overrightarrow{c}$|的最大值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 通過向量的數(shù)量積的定義，設(shè)出向量的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的模的公式及幾何意義，結(jié)合圓的方程即可得出最大值為圓的直徑．

解答 解：由平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$，
可得|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=1•1•cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{1}{2}$，
由0≤＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞≤π，可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$，
設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
則|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|≤1，即有|（$\frac{1}{2}$+x，y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）|≤1，
即為（x+$\frac{1}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²≤1，
故|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|≤1的幾何意義是在以（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）為圓心，半徑等于1的圓上
和圓內(nèi)部分，
|$\overrightarrow{c}$|的幾何意義是表示向量$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，而原點(diǎn)在圓上，
則最大值為圓的直徑，即為2．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運(yùn)算，熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算和圓的方程及數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．