Question

5．已知f（x）=|ax-1|，不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}．
（Ⅰ）求a的值；
（II）若$\frac{f（x）+f（-x）}{3}$＜|k|存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論a的范圍，求出不等式的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a的值即可；
（Ⅱ）根據(jù)不等式的性質(zhì)求出$\frac{f（x）+f（-x）}{3}$的最小值，得到關(guān)于k的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）由|ax-1|≤3，得-3≤ax-1≤3，解得：-2≤ax≤4，
a＞0時(shí)，-$\frac{2}{a}$≤x≤$\frac{4}{a}$，
而f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，
故$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}=-1}\\{\frac{4}{a}=2}\end{array}\right.$，解得：a=2；
a＜0時(shí)，$\frac{4}{a}$≤x≤-$\frac{2}{a}$，
不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，
故$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2}{a}=2}\\{\frac{4}{a}=-1}\end{array}\right.$，以a=2；
（Ⅱ）$\frac{f（x）+f（-x）}{3}=\frac{|2x-1|+|2x+1|}{3}≥\frac{|2x-1-2x-1|}{3}$=$\frac{2}{3}$，
故要使$\frac{f（x）+f（-x）}{3}$＜|k|存在實(shí)數(shù)解，只需|k|＞$\frac{2}{3}$，
解得k＞$\frac{2}{3}$或k＜-$\frac{2}{3}$，
∴實(shí)數(shù)k取值范圍是（-∞，-$\frac{2}{3}$）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．