Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$
（Ⅰ）y=f（x）的圖象可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
（Ⅱ）若y=f（x+φ）的一個對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），求φ的值；
（Ⅲ）設(shè)當x=θ時，函數(shù)g（x）=f（x）+sinx取得最大值，求cosθ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得φ的值．
（Ⅲ）設(shè)當x=θ時，利用輔助角公式，求得g（x）=f（x）+sinx取得最大值時，cosθ的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-2$\sqrt{3}$sin²$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2sin（x+$\frac{π}{3}$），
故把y=sinx的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，可得y=sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象，
再把各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的圖象．
（Ⅱ）若y=f（x+φ）=2sin（x+φ+$\frac{π}{3}$）的一個對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0），
則$\frac{π}{3}$+φ+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$．
（Ⅲ）設(shè)當x=θ時，函數(shù)g（x）=f（x）+sinx=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+sinθ=2sinθ+$\sqrt{3}$cosθ=$\sqrt{7}$（$\frac{2}{\sqrt{7}}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$cosθ）
=$\sqrt{7}$sin（θ+arcsin$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$）取得最大為$\sqrt{7}$，此時，sinθ=$\frac{2}{\sqrt{7}}$，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．

點評 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對稱性，輔助角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．