Question

4．已知奇函數f（x）滿足：（1）定義域為R；（2）f（x）＞-2；（3）在（0，+∞）上單調遞減；（4）對于任意的d∈（-2，0），總存在x₀，使f（x₀）＜d．請寫出一個這樣的函數解析式：f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）．

Answer 1

分析 分析函數f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）的定義域，單調性，值域，可得結論．

解答 解：函數f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$）的定義域為R；
函數f（x）在R上為減函數，故在（0，+∞）上單調遞減；
當x→+∞時，f（x）→-2，故f（x）＞-2；
函數的值域為：（-2，2），故對于任意的d∈（-2，0），總存在x₀，使f（x₀）＜d．
故滿足條件的函數可以是f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$），
故答案為：f（x）=-2（$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$），答案不唯一

點評 本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數的單調性，函數的奇偶性，難度中檔．