Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax有極值1，這里e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值，并確定1是極大值還是極小值；
（2）若當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=e^x-a，根據(jù)函數(shù)f（x）=e^x-ax有極值1，可得存在x₀，使得f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-a=0，f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ax₀=1，解得x₀，a．即可判斷出結(jié)論．
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立?e^x-x-1-mxln（x+1）≥0恒成立．令g（x）=e^x-（x+1），x≥0．g（0）=0．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得：e^x≥x+1．
①若mxln（x+1）+x+1≤x+1，則e^x-x-1-mxln（x+1）≥0恒成立．可得：m≤0．
②m＞0時(shí)，x≥0時(shí)，mxln（x+1）+x+1≤e^x．令F（x）=mxln（x+1）+x+1-e^x，（x≥0），F(xiàn)（0）=0．
由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e^x-x-1，x＞0時(shí)，化為：m≤$\frac{{e}^{x}-x-1}{xln（x+1）}$．下面證明：$\frac{1}{2}$≤$\frac{{e}^{x}-x-1}{xln（x+1）}$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=e^x-a，∵函數(shù)f（x）=e^x-ax有極值1，
∴存在x₀，使得f′（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-a=0，f（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-ax₀=1，
解得x₀=0，a=1．
∴f′（x）=e^x-1，可知：0是極小值點(diǎn)，因此1是極小值．
（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立?e^x-x-1-mxln（x+1）≥0恒成立．
令g（x）=e^x-（x+1），x≥0．g（0）=0．
則g′（x）=e^x-1≥0，
∴x≥0時(shí)，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，因此g（x）≥g（0）=0，因此e^x≥x+1．
①若mxln（x+1）+x+1≤x+1，則e^x-x-1-mxln（x+1）≥0恒成立．
則mxln（x+1）≤0，可得：m≤0．
∴m≤0時(shí)，x≥0時(shí)，f（x）≥mxln（x+1）+1恒成立．
②m＞0時(shí)，x≥0時(shí)，mxln（x+1）+x+1≤e^x．
令F（x）=mxln（x+1）+x+1-e^x，（x≥0），F(xiàn)（0）=0．
由F（x）≤0，可得mxln（x+1）≤e^x-x-1，
x=0時(shí)，化為0≤0，恒成立，m∈R．
x＞0時(shí)，化為：m≤$\frac{{e}^{x}-x-1}{xln（x+1）}$．
下面證明：$\frac{1}{2}$≤$\frac{{e}^{x}-x-1}{xln（x+1）}$．
令h（x）=2e^x-2x-2-xln（x+1），h（0）=0．
h′（x）=2e^x-2-ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$．h′（0）=0．
h^″（x）=2e^x-$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$≥h^″（0）=0，
∴h′（x）≥0．
∴函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=0．
因此：$\frac{1}{2}$≤$\frac{{e}^{x}-x-1}{xln（x+1）}$成立，并且$\frac{1}{2}$是其最小值．
∴m≤$\frac{1}{2}$．
綜上可得：實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-∞，\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．