【題目】已知為定義在上的奇函數(shù),當時,有,且當時,,下列命題正確的是( )

A.B.函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)

C.直線與函數(shù)的圖象有個交點D.函數(shù)的值域為

【答案】A

【解析】

推導出當時,,結合題中等式得出,可判斷出A選項的正誤;利用特殊值法可判斷B選項的正誤;作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象,利用數(shù)形結合思想可判斷C選項的正誤;求出函數(shù)上的值域,利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的值域,可判斷出D選項的正誤.

函數(shù)上的奇函數(shù),,由題意可得

時,,,A選項正確;

時,,則,,

則函數(shù)不是上周期為的函數(shù),B選項錯誤;

為奇數(shù)時,

為偶數(shù),則,即當時,

時,,若,且當時,,

,

時,則,

時,,則

所以,函數(shù)上的值域為,

由奇函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)上的值域為,

由此可知,函數(shù)上的值域為D選項錯誤;

如下圖所示:

由圖象可知,當時,函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個交點,

時,,此時,函數(shù)與函數(shù)沒有交點,

則函數(shù)與函數(shù)有且只有一個交點,C選項錯誤.

故選:A.

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