【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)).
(1)若在處的切線與直線垂直,求的值;
(2)若,討論函數(shù)的單調性;
(3)若為正整數(shù),函數(shù)恰好有兩個零點,求的值.
【答案】(1);(2)見解析;(3).
【解析】
(1)由題意得出,即可求出實數(shù)的值;
(2)由,可得出,對與的大小關系進行分類討論,分析導數(shù)的符號,可得出函數(shù)的單調增區(qū)間和減區(qū)間;
(3)分、和三種情況討論,結合(2)中函數(shù)的單調性以及零點存在定理來判斷出函數(shù)的零點個數(shù),可得出整數(shù)的值.
(1)由題意,,則,
由于函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,
則,所以,因此,;
(2),則.
①若時,,
當或時,,時,,
所以在和單調遞增,在單調遞減,
②若時,,對,恒成立,在單調遞增;
③若時,,
當或時,,時,,
所以在和單調遞增,在單調遞減;
(3)因為為正整數(shù),
若,則,,
由(2)知在和單調遞增,在單調遞減,
又,所以在區(qū)間內僅有實根,,
又,所以在區(qū)間內僅有實根.
此時,在區(qū)間內恰有實根;
若,在單調遞增,至多有實根.
若,,
令,則,,,
所以.
由(2)知在單調遞減,在和單調遞增,
所以,所以在至多有實根.
綜上,.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某某大學藝術專業(yè)400名學生參加某次測評,根據(jù)男女學生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學生,記錄他們的分數(shù),將數(shù)據(jù)分成7組: ,并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學生中隨機抽取一人,估計其分數(shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分數(shù)小于40的學生有5人,試估計總體中分數(shù)在區(qū)間[40,50)內的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分數(shù)不小于70,且樣本中分數(shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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【題目】已知函數(shù),實數(shù)滿足;
(1)當函數(shù)的定義域為時,求的值域;
(2)求函數(shù)關系式,并求函數(shù)的定義域;
(3)在(2)的結論中,對任意,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍;
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【題目】已知為定義在上的奇函數(shù),當時,有,且當時,,下列命題正確的是( )
A.B.函數(shù)在定義域上是周期為的函數(shù)
C.直線與函數(shù)的圖象有個交點D.函數(shù)的值域為
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【題目】為了節(jié)能減排,發(fā)展低碳經濟,我國政府從2001年起就通過相關政策推動新能源汽車產業(yè)發(fā)展.下面的圖表反映了該產業(yè)發(fā)展的相關信息:
中國新能源汽車產銷情況一覽表 | ||||
新能源汽車生產情況 | 新能源汽車銷售情況 | |||
產品(萬輛) | 比上年同期 | 銷量(萬輛) | 比上年同期 | |
2018年3月 | 6.8 | 105 | 6.8 | 117.4 |
4月 | 8.1 | 117.7 | 8.2 | 138.4 |
5月 | 9.6 | 85.6 | 10.2 | 125.6 |
6月 | 8.6 | 31.7 | 8.4 | 42.9 |
7月 | 9 | 53.6 | 8.4 | 47.7 |
8月 | 9.9 | 39 | 10.1 | 49.5 |
9月 | 12.7 | 64.4 | 12.1 | 54.8 |
10月 | 14.6 | 58.1 | 13.8 | 51 |
11月 | 17.3 | 36.9 | 16.9 | 37.6 |
1-12月 | 127 | 59.9 | 125.6 | 61.7 |
2019年1月 | 9.1 | 113 | 9.6 | 138 |
2月 | 5.9 | 50.9 | 5.3 | 53.6 |
根據(jù)上述圖表信息,下列結論錯誤的是( )
A.2017年3月份我國新能源汽車的產量不超過萬輛
B.2017年我國新能源汽車總銷量超過萬輛
C.2018年8月份我國新能源汽車的銷量高于產量
D.2019年1月份我國插電式混合動力汽車的銷量低于萬輛
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【題目】已知拋物線:,,,,四點都在拋物線上.
(1)若線段的斜率為,求線段中點的縱坐標;
(2)記,若直線,均過定點,且,,分別為,的中點,證明:,,三點共線.
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【題目】高鐵和航空的飛速發(fā)展不僅方便了人們的出行,更帶動了我國經濟的巨大發(fā)展.據(jù)統(tǒng) 計,在2018年這一年內從 市到市乘坐高鐵或飛機出行的成年人約為萬人次.為了 解乘客出行的滿意度,現(xiàn)從中隨機抽取人次作為樣本,得到下表(單位:人次):
滿意度 | 老年人 | 中年人 | 青年人 | |||
乘坐高鐵 | 乘坐飛機 | 乘坐高鐵 | 乘坐飛機 | 乘坐高鐵 | 乘坐飛機 | |
10分(滿意) | 12 | 1 | 20 | 2 | 20 | 1 |
5分(一般) | 2 | 3 | 6 | 2 | 4 | 9 |
0分(不滿意) | 1 | 0 | 6 | 3 | 4 | 4 |
(span>1)在樣本中任取個,求這個出行人恰好不是青年人的概率;
(2)在2018年從市到市乘坐高鐵的所有成年人中,隨機選取人次,記其中老年人出行的人次為.以頻率作為概率,求的分布列和數(shù)學期望;
(3)如果甲將要從市出發(fā)到市,那么根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),你建議甲是乘坐高鐵還是飛機? 并說明理由.
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【題目】對于雙曲線,定義為其伴隨曲線,記雙曲線的左、右頂點為、.
(1)當時,記雙曲線的半焦距為,其伴隨橢圓的半焦距為,若,求雙曲線的漸近線方程.
(2)若雙曲線的方程為,弦軸,記直線與直線的交點為,求其動點的軌跡方程.
(3)過雙曲線的左焦點,且斜率為的直線與雙曲線交于兩點,求證:對任意的,在伴隨曲線上總存在點,使得.
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