Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$ρ（sinθ+\sqrt{3}cosθ）=4\sqrt{3}$，若射線θ=$\frac{π}{6}$，θ=$\frac{π}{3}$分別與l交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求|AB|；
（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線C：x²+$\frac{y^2}{9}$=1上的動點(diǎn)，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）令$θ=\frac{π}{6}$，解得$ρ=2\sqrt{3}$，令$θ=\frac{π}{3}$，解得ρ=4，由此能求出A，B的極坐標(biāo)，再求出$∠BAO=\frac{π}{2}$，由此能求出|AB|．
（2）求出$d=\frac{{|3sinα+\sqrt{3}cosα-4\sqrt{3}|}}{2}$$≤3\sqrt{3}$，由此能求出△ABP面積的最大值．

解答 解：（1）直線$l：ρ•sin（θ+\frac{π}{3}）=2\sqrt{3}$，
令$θ=\frac{π}{6}$，解得$ρ=2\sqrt{3}$，
∴$A（2\sqrt{3}，\frac{π}{6}）$，
令$θ=\frac{π}{3}$，解得ρ=4，
∴$B（4，\frac{π}{3}）$
又∵$∠AOB=\frac{π}{3}-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}，OA=2\sqrt{3}，OB=4$，
∴$∠BAO=\frac{π}{2}$，∴|AB|=2．
（2）∵直線$l：\sqrt{3}x+y=4\sqrt{3}$，曲線$C：\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$，
∴$d=\frac{{|3sinα+\sqrt{3}cosα-4\sqrt{3}|}}{2}$=$\frac{{|2\sqrt{3}sin（α+\frac{π}{6}）-4\sqrt{3}|}}{2}$$≤\frac{{|-2\sqrt{3}-4\sqrt{3}|}}{2}=3\sqrt{3}$
當(dāng)且僅當(dāng)$α+\frac{π}{6}=2kπ-\frac{π}{2}$，即$α=2kπ-\frac{2}{3}π$時，取“=”，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|AB|•d≤\frac{1}{2}•2•3\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
∴△ABP面積的最大值為3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查弦長的求法，考查三角形的面積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)、直角坐標(biāo)互化公式、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．