17.已知球的直徑SC=4,A,B是該球球面上的兩點(diǎn),∠ASC=∠BSC=30°,且AB=$\sqrt{3}$,則三棱錐S-ABC的體積為(  )
A.1B.$\sqrt{3}$C.2$\sqrt{3}$D.3$\sqrt{3}$

分析 設(shè)球心為O,作AB中點(diǎn)D,連結(jié)OD、CD,由棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$,利用余弦定理、三角形面積公式,能求出三棱錐S-ABC的體積.

解答 解:設(shè)球心為O,作AB中點(diǎn)D,連結(jié)OD、CD,
∵線段SC是球的直徑,∴SC是大圓的直徑,
∴∠SAC=∠SBC=90°,
∴在Rt△SAC中,SC=4,∠ASC=30°,∴AC=2,SA=2$\sqrt{3}$,
又在Rt△SBC中,SC=4,∠ASC=30°,∴BC=2,SB=2$\sqrt{3}$,
∴SA=SB,AC=BC,
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),∴在等腰△ASB中,SD⊥AB,且SD=$\sqrt{S{A}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{12-\frac{3}{4}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,
在等腰△CAB中,CD⊥AB,且CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}=\sqrt{4-\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{13}}{2}$,
又SD∩CD=D,∴AB⊥平面SCD,即棱錐S-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$,
∵SD=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$,CD=$\frac{\sqrt{13}}{2}$,
∴由余弦定理得cos∠SDC=$\frac{S{D}^{2}+C{D}^{2}-S{C}^{2}}{2×SD×CD}$=$\frac{\frac{45}{4}+\frac{13}{4}-16}{2×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}}$=-$\frac{1}{\sqrt{65}}$,
∴sin$∠SDC=\sqrt{1-(-\frac{1}{65}})^{2}$=$\frac{8}{\sqrt{65}}$,
∴由三角形面積公式得△SCD的面積:
S=$\frac{1}{2}×SD×CD×sin∠SDC$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{13}}{2}×\frac{8}{\sqrt{65}}$=3,
∴三棱錐S-ABC的體積為:
V=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$=$\frac{1}{3}×AB×{S}_{△SCD}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×3$=$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的體積的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意余弦定理、三角形面積公式、球的性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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(2)直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A、B,求線段AB的長(zhǎng).

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9.已知線段AB上有9個(gè)確定的點(diǎn)(包括端點(diǎn)A與B).現(xiàn)對(duì)這些點(diǎn)進(jìn)行往返標(biāo)數(shù)(從A→B→A→B→…進(jìn)行標(biāo)數(shù),遇到同方向點(diǎn)不夠數(shù)時(shí)就“調(diào)頭”往回?cái)?shù)).如圖:在點(diǎn)A上標(biāo)1稱(chēng)為點(diǎn)1,然后從點(diǎn)1開(kāi)始數(shù)到第二個(gè)數(shù),標(biāo)上2,稱(chēng)為點(diǎn)2,再?gòu)狞c(diǎn)2開(kāi)始數(shù)到第三個(gè)數(shù),標(biāo)上3,稱(chēng)為點(diǎn)3(標(biāo)上數(shù)n的點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)n),…,這樣一直繼續(xù)下去,直到1,2,3,…,2013都被標(biāo)記到點(diǎn)上.則點(diǎn)2013上的所有標(biāo)記的數(shù)中,最小的是2.

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