Question

12．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M坐標(biāo)是$（{2，\frac{π}{3}}）$，曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）；以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M和極點(diǎn)．
（1）寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M$（{2，\frac{π}{3}}）$和極點(diǎn)，可得直線l的極坐標(biāo)方程，根據(jù)曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}x$，曲線C的表示以（1，1）點(diǎn)為圓心，以r=$\sqrt{2}$為半徑的圓，代入圓的弦長(zhǎng)公式，可得答案．

解答 解：（1）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M$（{2，\frac{π}{3}}）$和極點(diǎn)．
∴直線l的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{3}$，（ρ∈R），
曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=2sinθ+2cosθ可化為：ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為：x²+y²-2x-2y=0；
（2）直線l的直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}x$，
曲線C的表示以（1，1）點(diǎn)為圓心，以r=$\sqrt{2}$為半徑的圓，
圓心到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故|AB|=2×$\sqrt{{r}^{2}-6ivxzqs^{2}}$=$\sqrt{3}+1$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，直線與圓的位置關(guān)系，難度中檔．