Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)大于0求出單調(diào)增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求出函數(shù)的減區(qū)間，再由極值的定義判斷出極值即可；
（2）由f（x）=0，得$a=\frac{lnx}{x}$，令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，$f'（x）=\frac{1}{x}-1（{x＞0}）$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上遞增；在（1，+∞）上遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值-1，無極小值．
（2）由f（x）=0，得$a=\frac{lnx}{x}$，令$g（x）=\frac{lnx}{x}$，$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，
0＜x＜e時(shí)，g'（x）＞0，當(dāng)x＞e時(shí)g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減．
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，又當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞，當(dāng)x＞e時(shí)g（x）＞0，
所以，若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍為$0＜a＜\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及由函數(shù)零點(diǎn)的問題求參數(shù)的取值范圍，求解本題關(guān)鍵是記憶好求導(dǎo)的公式以及極值的定義，要注意正確轉(zhuǎn)化，恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化可以大大降低解題難度．