已知拋物線C1的焦點(diǎn)F與橢圓C2：x2+
4y2
3
=1的右焦點(diǎn)重合，拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求這條拋物線C1方程；
（Ⅱ）設(shè)圓M過A（1，0），且圓心M在C1的軌跡上，BD是圓M在y軸的截得的弦，當(dāng)M過去時(shí)弦長BD是否為定值？說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由橢圓C2：x2+
4y2
3
=1的右焦點(diǎn)求出拋物線C1的焦點(diǎn)為F（
1
2
，0），拋物線C1的方程．
（Ⅱ）由已知條件推導(dǎo)出圓的方程為（x-
a2
2
）2+（y-a）2=（1-
a2
2
）2+a2，由此能證明弦長|BD|為定值．
解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C1的焦點(diǎn)與橢圓C2：x2+
4y2
3
=1的右焦點(diǎn)重合，
∴拋物線C1的焦點(diǎn)為F（
1
2
，0），
∵拋物線C1的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴拋物線C1的方程為y2=2x．
（Ⅱ）證明：∵圓心M在拋物線y2=2x上，
設(shè)圓心M（
a2
2
，a），半徑r=
(1-
a2
2
)2+a2
，
圓的方程為（x-
a2
2
）2+（y-a）2=（1-
a2
2
）2+a2，
令x=0，得B（0，1+a），D（0，-1+a），
∴|BD|=
[(1+a)-(-1+a)]2
=2，
∴弦長|BD|為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查弦長為定值的證明，解題時(shí)要注意圓的簡單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的k的值是（　�。�
A、4B、5C、6D、7

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

為了解心肺疾病是否與年齡相關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取了40名市民，得到數(shù)據(jù)如下表：
患心肺疾病 不患心肺疾病 合計(jì)
大于40歲 16
小于等于40歲 12
合計(jì) 40
已知在全部的40人中隨機(jī)抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率為
2
5
．
（1）請(qǐng)將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整；
（2）已知大于40歲患心肺疾病市民中，經(jīng)檢查其中有4名重癥患者，專家建議重癥患者住院治療，現(xiàn)從這16名患者中選出兩名，記需住院治療的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為患心肺疾病與年齡有關(guān)？
下面的臨界值表供參考：
P（K2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
（參考公式：K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
，其中n=a+b+c+d）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，BC⊥平面PAB，AB=BC=
1
2
PB，∠APB=30°，M為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：PD∥平面AMC；
（2）求銳二面角B-AC-M的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：y=2x與拋物線C：y=
1
4
x2交于A（xA，yA）、O（0，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)O與直線l垂直的直線交拋物線C于點(diǎn)B（xB，yB）．如圖所示．
（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）過拋物線y=
1
4
x2的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線，過這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)A、B的直線AB是否恒過定點(diǎn)，如果是，指出此定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出以下四個(gè)命題，其中所有正確命題的序號(hào)為：
 
．
①已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，
OA
，
OB
為不共線向量，又
OP
=a1
OA
+a2014
OB
，若A、B、P三點(diǎn)共線，則S2014=1007；
②“a=
∫
1
0
1-x2
dx”是“函數(shù)y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期為4”的充要條件；
③設(shè)函數(shù)f(x)=
2014x+1+2013
2014x+1
+2014sinx(x∈[-
π
2
，
π
2
])的最大值為M，最小值為m，則M+m=4027；
④已知函數(shù)f（x）=|x2-2|，若f（a）=f（b），且0＜a＜b，則動(dòng)點(diǎn)P（a，b）到直線4x+3y-15=0的距離的最小值為1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

按照如圖程序運(yùn)行，則輸出K的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給定下列四個(gè)命題：
①“若a＞1且b＞1，則a+b＞2”的否命題為真命題；
②命題“p∨q為真”是命題“p∧q為真”的必要不充分條件；
③若loga
2
3
＜1，則a的取值范圍為a＞1或0＜a＜
2
3
；
④若實(shí)數(shù)x，y∈[-1，1]，則滿足x2+y2≥1的概率為
π
4

其中為假命題的是
 
 （填上所有正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法不正確的是（　　）
A、方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y=f（x）有零點(diǎn)
B、函數(shù)y=-x2+3x+5有兩個(gè)零點(diǎn)
C、單調(diào)函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)
D、函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上滿足f（a）•f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)

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