Question

10．已知雙曲線C：x²-y²=1，直線y=kx-1交雙曲線的左支于A、B兩點．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）如果|AB|=6$\sqrt{3}$，求實數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用直線y=kx-1交雙曲線的左支于A、B兩點，可得$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△=4{k^2}+8（1-{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0\\{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0\end{array}\right.$，即可求實數(shù)k的取值范圍；
（2）如果|AB|=6$\sqrt{3}$，利用弦長公式，建立方程，即可求實數(shù)k的值．

解答 解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=1\\ y=kx-1\end{array}\right.⇒（1-{k^2}）{x^2}+2kx-2=0$…（2分）
∵直線y=kx-1交雙曲線的左支于A、B兩點
∴$\left\{\begin{array}{l}1-{k^2}≠0\\△=4{k^2}+8（1-{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{2k}{{{k^2}-1}}＜0\\{x_1}{x_2}=\frac{2}{{{k^2}-1}}＞0\end{array}\right.$…（2分）$⇒-\sqrt{2}＜k＜-1$…（5分）
（2）∵$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}$…（6分）
∴$6\sqrt{3}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（\frac{2k}{{{k^2}-1}}）}^2}-4\frac{2}{{{k^2}-1}}}]}$…（7分）
∴28k⁴-55k²+25=0
∴${k^2}=\frac{5}{4}$或${k^2}=\frac{5}{7}$…（9分）
又∵$-\sqrt{2}＜k＜-1$
∴$k=-\frac{{\sqrt{5}}}{2}$…（10分）

點評 本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．