Question

5．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD對角線的交點．求證：
（1）C₁O∥面AB₁D₁；
（2）平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連結(jié)AO₁，證明OC₁∥AO₁，然后證明C₁O∥面AB₁D₁．
（2）證明A₁C⊥B₁D₁，A₁C⊥AB₁，推出A₁C⊥面AB₁D₁，即可證明平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

解答 證明：（1）連結(jié)A₁C₁，設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，
連結(jié)AO₁，因為ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體∴A₁ACC₁是平行四邊形
∴AC∥A₁C₁且 AC=A₁C₁．
又O，O₁分別是AC，A₁C₁的中點，∴O₁C₁∥AO且O₁C₁=AO，

∴O₁C₁AO是平行四邊形
∴OC₁∥AO₁，AO₁?面AB₁D₁，O₁C?面AB₁D₁
∴C₁O∥面AB₁D₁．
（2）∵CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁，∴CC₁⊥B₁D₁，
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，∴B₁D₁⊥面A₁C₁C，
即A₁C⊥B₁D₁，
同理可證A₁C⊥AB₁，
又AB₁∩B₁D₁=B₁，
∴A₁C⊥面AB₁D₁，
∴平面A₁AC⊥面AB₁D₁．

點評 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．