【題目】正△ABC的邊長為2, CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC的中點(diǎn)(如圖(1)).現(xiàn)將△ABC沿CD翻成直二面角A-DC-B(如圖(2)).在圖(2)中:
(1)求證:AB∥平面DEF;
(2)在線段BC上是否存在一點(diǎn)P,使AP⊥DE?證明你的結(jié)論;
(3)求二面角E-DF-C的余弦值.
【答案】(1) 見解析.(2) 見解析.(3) .
【解析】試題分析:(Ⅰ)由E、F分別是AC、BC的中點(diǎn),得EF∥AB,由此能證明AB∥平面DEF;(Ⅱ)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量法能在線段BC上存在點(diǎn)P,使AP⊥DE;(Ⅲ)分別求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量,利用同向量法能求出二面角E-DF-C的平面角的余弦值
試題解析:(1)證明:在△ABC中,因?yàn)?/span>E、F分別是AC、BC的中點(diǎn),
所以EF∥AB.
又AB平面DEF,EF平面DEF,
所以AB∥平面DEF.
(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).則A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ,0),E(0, , ),F(, ,0),=(1,0,-1),=(-1, ,0),=(0, , ),=(, ,0).
設(shè)=λ,則=+=(1-λ, λ,-1),
注意到AP⊥DE·=0λ== ,
所以在線段BC上存在點(diǎn)P,使AP⊥DE.
(3)平面CDF的一個法向量=(0,0,1),設(shè)平面EDF的法向量為n=(x,y,z),
則,即,取n=(3,- ,3),
cos〈,n〉==,
所以二面角EDFC的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓C過點(diǎn),焦點(diǎn),圓O的直徑為.
(1)求橢圓C及圓O的方程;
(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)P.
①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②直線l與橢圓C交于兩點(diǎn).若的面積為,求直線l的方程.
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【題目】已知函數(shù) 有兩個不同的零點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)設(shè), 是的兩個零點(diǎn),證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱柱中,側(cè)棱底面,,,,,為棱的中點(diǎn).
(1)證明;
(2)求二面角的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)在線段上,且直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù),則實(shí)數(shù)m的值是______;若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上滿足對任意x1≠x2,都有成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求a的值,并證明是R上的增函數(shù);
(2)若關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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【題目】下列命題:
①若是定義在上的偶函數(shù),且在上是增函數(shù),,則;
②若銳角、滿足c,則;
③若,則對恒成立;
④要得到的圖像,只需將的圖像向右平移個單位:
其中真命題的個數(shù)有( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】某投資公司計(jì)劃投資,兩種金融產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,產(chǎn)品的利潤與投資金額的函數(shù)關(guān)系為,產(chǎn)品的利潤與投資金額的函數(shù)關(guān)系為.(注:利潤與投資金額單位:萬元)
(1)該公司已有100萬元資金,并全部投入,兩種產(chǎn)品中,其中萬元資金投入產(chǎn)品,試把,兩種產(chǎn)品利潤總和表示為的函數(shù),并寫出定義域;
(2)試問:怎樣分配這100萬元資金,才能使公司獲得最大利潤?其最大利潤為多少萬元?
【答案】(1);(2)20,28.
【解析】
(1)設(shè)投入產(chǎn)品萬元,則投入產(chǎn)品萬元,根據(jù)題目所給兩個產(chǎn)品利潤的函數(shù)關(guān)系式,求得兩種產(chǎn)品利潤總和的表達(dá)式.(2)利用基本不等式求得利潤的最大值,并利用基本不等式等號成立的條件求得資金的分配方法.
(1)其中萬元資金投入產(chǎn)品,則剩余的(萬元)資金投入產(chǎn)品,
利潤總和為: ,
(2)因?yàn)?/span>,
所以由基本不等式得:,
當(dāng)且僅當(dāng)時,即:時獲得最大利潤28萬.
此時投入A產(chǎn)品20萬元,B產(chǎn)品80萬元.
【點(diǎn)睛】
本小題主要考查利用函數(shù)求解實(shí)際應(yīng)用問題,考查利用基本不等式求最大值,屬于中檔題.
【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知曲線.
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列是等比數(shù)列,且滿足 , , .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對一切正整數(shù)都成立,求的最小值.
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