Question

19．自2017年2月底，90多所自主招生試點(diǎn)高校將陸續(xù)出臺(tái)2017年自主招生簡章，懷化市某學(xué)校高三年級(jí)為了提高學(xué)生自主招生考試的通過率，對(duì)A、B、C、D四所國內(nèi)知名大學(xué)2016年自主招生考試的語文和數(shù)學(xué)的控分做了如下調(diào)查：

學(xué)校	A	B	C	D
語文（x分）	118	120	114	112
數(shù)學(xué) （y分）	116	123	114	119

（Ⅰ）依據(jù)上表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求數(shù)學(xué)控分$\hat y$關(guān)于語文控分x的線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$及當(dāng)某高校自主招生考試語文控分為110分時(shí)，預(yù)測(cè)該校的數(shù)學(xué)控分．
（Ⅱ）依據(jù)調(diào)查表，懷化市的這所學(xué)校從A、B、C、D四所大學(xué)任選兩所，求選出的這兩所學(xué)校的語文和數(shù)學(xué)控分都低于120分的概率．
（附：線性回歸方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b×\overline x\end{array}\right.$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）計(jì)算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程，利用計(jì)算x=110時(shí)y的值；
（Ⅱ）利用列舉法計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（118+120+114+112）=116，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（116+123+114+119）=118，
∴$\stackrel{∧}$=$\frac{（118-116）（116-118）+（120-116）（123-118）+（114-116）（114-118）+（112-116）（119-118）}{{（118-116）}^{2}{+（120-116）}^{2}{+（114-116）}^{2}{+（112-116）}^{2}}$
=$\frac{-4+20+8-4}{4+16+4+16}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\hat a=118-\frac{1}{2}×116=60$，…（4分）
∴線性回歸方程為$\hat y=\frac{1}{2}x+60$；
∴當(dāng)x=110時(shí)，$\hat y=\frac{1}{2}×110+60=115$，
∴當(dāng)語文控分為110分時(shí)，該校的數(shù)學(xué)控分為115；…（6分）
（Ⅱ）從A，B，C，D四所大學(xué)任選兩所共有基本事件6個(gè)：
AB，AC，AD，BC，BD，CD；
其中滿足兩所大學(xué)的語文控分和數(shù)學(xué)控分都小于120分的有
AC，AD，CD共3個(gè)；…（10分）
故所求的概率為$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了用列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題．