Question

7．等差數(shù)列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₂是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的兩個(gè)極值點(diǎn)，則log₂（a₂•a₂₀₁₇•a₄₀₃₂）=（　�。�

• A． $4+log_2^6$
• B． 4
• C． $3+log_2^3$
• D． $4+log_2^3$

Answer 1

分析 先求出f′（x）=x²-8x+6，由等差數(shù)列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₂是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的兩個(gè)極值點(diǎn)，利用韋達(dá)定理得a₂+a₄₀₃₂=8，a₂•a₄₀₃₂=6，從而${a}_{2017}=\frac{{a}_{2}+{a}_{4032}}{2}$=4，由此能求出log₂（a₂•a₂₀₁₇•a₄₀₃₂）的值．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$，
∴f′（x）=x²-8x+6，
∵等差數(shù)列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₂是函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴a₂+a₄₀₃₂=8，a₂•a₄₀₃₂=6，
∴${a}_{2017}=\frac{{a}_{2}+{a}_{4032}}{2}$=4，
∴l(xiāng)og₂（a₂•a₂₀₁₇•a₄₀₃₂）=log₂（4×6）=$lo{g}_{2}{2}^{3}+lo{g}_{2}3$=3+log₂3．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、等差數(shù)列、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．