Question

13．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，設(shè)棱長(zhǎng)為a，過(guò)BD且與直線AC₁平行的截面面積是（　　）

• A． $\frac{a^2}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}{a^2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}{a^2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}$

Answer 1

分析 如圖連結(jié)AC交BD與O，連結(jié)OE，由OE∥AC₁，得AC₁∥平面BDE，求出△BDE的面積即可．

解答 解：如圖連結(jié)AC交BD與O，連結(jié)OE，
因?yàn)镺、E分別是AC、CC₁的中點(diǎn)，
∴OE∥AC₁，
又因?yàn)镺E?平面BDE，AC₁?平面BDE．
∴AC₁∥平面BDE，∴△DBE就是過(guò)BD且與直線AC₁平行的截面．
易得△DBE是等腰△，且DB⊥OE
在△DBE中，BD=$\sqrt{2}a$，OE=$\sqrt{O{C}^{2}+C{E}^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$
∴${S}_{△DBE}=\frac{1}{2}×DB×OE=\frac{1}{2}×\sqrt{2}a×$$\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{\sqrt{6}}{4}{a}^{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線線垂直、線面平行的判定，屬于基礎(chǔ)題．