Question

10．已知函數f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$，則下列結論正確的是（　�。�

• A． f（x）的周期為2π
• B． f（x）在區(qū)間（0，$\frac{π}{4}$）內單調遞增
• C． f（x）的一個對稱中心為（$\frac{π}{3}$，0）
• D． 當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，f（x）的值域為[-2$\sqrt{3}$，0]

Answer 1

分析 利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式，再根據正弦函數的周期性，單調性，定義域和值域，判斷各個選項是否正確，從而得出結論．

解答 解：∵函數f（x）=2sinxcosx-2$\sqrt{3}$cos²x+$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），∴它的周期為$\frac{2π}{2}$=π，故排除A；
在區(qū)間（0，$\frac{π}{4}$）內，2x-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$） 在區(qū)間（0，$\frac{π}{4}$）內單調遞增，故B滿足條件；
令x=$\frac{π}{3}$，求得f（x）=$\sqrt{3}$，故排除C；
當x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\sqrt{3}$，2]，故f（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]，故排除D，
故選：B．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的周期性，單調性，定義域和值域，屬于基礎題．