Question

17．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• D． $\sqrt{2}$+1

Answer 1

分析 確定拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，求出M的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，即可求得結(jié)論．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），其準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，
∴c=$\frac{p}{2}$；
∵點(diǎn)M為這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且|MF|=p，
∴M的橫坐標(biāo)為$\frac{p}{2}$，
代入拋物線方程，可得M的縱坐標(biāo)為±p，
將M的坐標(biāo)代入雙曲線方程，可得$\frac{\frac{{p}^{2}}{4}}{{a}^{2}}-\frac{{p}^{2}}{^{2}}$=1，
∴a=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$p，
∴e=1+$\sqrt{2}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查曲線的交點(diǎn)，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，確定M的坐標(biāo)是關(guān)鍵．