Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x+lnx．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1．f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出a=0的函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的定義域，討論①當(dāng)a＞0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，通過解方程求出兩根，討論導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=x+lnx，
∴f′（x）=1+

1

x

，∴k=f′（1）=1+1=2．
又∵f（1）=1，∴切點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1），
∴切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．
（Ⅱ）∵f（x）=ax²+x+lnx．
∴f（x）的定義域是（0，+∞），且f′（x）=2ax+1+

1

x

=

2ax2+x+1

x

．
①當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在x＞0上是增函數(shù)； 
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′（x）=0，即2ax²+x+1=0，得x=

-1± 1-8a

4a

．
∵x₁=

-1- 1-8a

4a

＞0，x₂=

-1+ 1-8a

4a

＜0，
∴當(dāng)x∈（0，

-1- 1-8a

4a

）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（

-1- 1-8a

4a

，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．