Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（3\sqrt{2}，0）$．
（1）試判斷曲線C的形狀為何種圓錐曲線；
（2）已知直線l過點(diǎn)P且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為45°，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$消去α，得曲線C的方程．．
（2）設(shè)直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{2}+tcos45°\\ y=tsin45°\end{array}\right.$代入$\frac{x^2}{25}+{y^2}=1$，得13t²+6t-7=0，從而$|PA|•|PB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{7}{13}$．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$消去α，得$\frac{x^2}{25}+{y^2}=1$，則曲線C為橢圓．
（2）由直線l的傾斜角為45°，可設(shè)直線l的方程為$\left\{\begin{array}{l}x=3\sqrt{2}+tcos45°\\ y=tsin45°\end{array}\right.$（其中t為參數(shù)），
代入$\frac{x^2}{25}+{y^2}=1$，得13t²+6t-7=0，
所以${t_1}{t_2}=-\frac{7}{13}$，從而$|PA|•|PB|=|{t_1}{t_2}|=\frac{7}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，及直線參數(shù)方程的參數(shù)含義，屬于基礎(chǔ)題．