Question

11．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}（a∈R）$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，（不需證明）
（3）若對任意的t∈R，不等式f（kt²+2）+f（t²-tk）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則f（0）=0即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，求出a的值，再進(jìn)一步驗(yàn)證；
（2）函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由（2）得f（kt²+2）+f（t²-tk）＞0，即kt²+2＞-t²+tk，再分類討論則可得答案．

解答 解：（1）由題意：$f（x）=a-\frac{2}{{{2^x}+1}}$是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴f（0）=0即$a-\frac{2}{{{2^0}+1}}=0$，
∴a=1．
當(dāng)a=1時，$f（x）=1-\frac{2}{{{2^x}+1}}=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$，
$f（-x）=\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^{-x}}+1}}=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^x}+1}}=-\frac{{{2^{-x}}-1}}{{{2^x}+1}}=-f（x）$，
故a=1滿足題意；
（2）單調(diào)遞增函數(shù)；
（3）由（2）得f（kt²+2）+f（t²-tk）＞0等價于f（kt²+2）＞-f（t²-tk），
即kt²+2＞-t²+tk，
∴（k+1）t²-tk+2＞0對任意t∈R恒成立，
①k=-1時，t+2＞0不恒成立，
②k≠-1時，$\left\{\begin{array}{l}{k+1＞0}\\{△＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{k+1＞0}\\{{k}^{2}-8k-8＜0}\end{array}\right.$解得：k∈（-1，$4+2\sqrt{6}$）．
∴k的取值范圍是：（-1，$4+2\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．