Question

8．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AA₁的長為2，∠A₁AB=∠A₁AD=120°．
求：（1）直線A₁C和BB₁的夾角的余弦值；
（2）設|A₁C|=a，|A₁B|=b，|A₁D|=c請設計一個算法，當輸入實數a，b，c，要求輸出這三個數中最大的數，請寫出算法并畫出程序框圖．

Answer 1

分析 （1）利用向量的夾角公式，即可求出直線A₁C和BB₁的夾角的余弦值；
（2）利用選擇結構，寫出算法并畫出程序框圖．

解答 解：（1）設$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a，\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b，\overrightarrow{A{A_1}}=\overrightarrow c$且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow b|=|\overrightarrow c|=2$
∵$\overrightarrow{{A_1}C}=\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c$，由題意，$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow c$
∴$cos＜\overrightarrow{{A_1}C}，\overrightarrow{B{B_1}}＞=\frac{（\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c）•\overrightarrow c}{|\overrightarrow a+\overrightarrow b-\overrightarrow c|•|\overrightarrow c|}=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
∴直線A₁C和BB₁的夾角的余弦值為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
（2）算法步驟如下：

第一步：輸入三個數a，b，c；
第二步：把a賦給x；
第三步：若x＞b，則執(zhí)行第四步，否則把b賦給x；
第四步：若x＞c，則執(zhí)行第五步，否則把c賦給x；
第五步：輸出x，結束算法．

點評 本題考查異面直線所成角，考查空間向量知識的運用，考查算法知識，綜合性強．