Question

6．已知f（x）=-sin²x+asinx+bcosx是偶函數(shù)，且f（π）=-1
（1）求f（x）；
（2）已知θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanθ=$\sqrt{2}$，若對任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式a≤f（2x+θ）+m≤4b恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）是偶函數(shù)，asinx=0，得a=0，且f（π）=-1，可得b=1．可得f（x）解析式．
（2）根據(jù)θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanθ=$\sqrt{2}$，對任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式a≤f（2x+θ）+m≤4b恒成立，求解f（2x+θ）的最大值和最小值可得答案．

解答 解：（1）f（x）=-sin²x+asinx+bcosx，
∵f（x）是偶函數(shù)
∴asinx=0，即a=0．
f（π）=-1，即-sin²π+bcosπ=-1
∴b=1
∴f（x）=-sin²x+cosx，
（2）由（1）可知f（2x+θ）=-sin²（2x+θ）+cos（2x+θ），
化解可得：f（2x+θ）=[cos（2x+θ）$+\frac{1}{2}$]²-$\frac{5}{4}$
x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），且tanθ=$\sqrt{2}$，
∴2x+θ∈[-π+θ，θ]，
當2x+θ=0時，cos（2x+θ）的最大值為1．
2x+θ=-π+θ時，cos（2x+θ）=-cosθ=$-\frac{1}{3}$是最小值．
∴cos（2x+θ）∈[$-\frac{1}{3}$，1]
∴f（2x+θ）∈[$-\frac{11}{9}$，1]
要使不等式a≤f（2x+θ）+m≤4b恒成立，等價于0≤f（2x+θ）+m≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{11}{9}+m≥0}\\{1+m≤4}\end{array}\right.$，解得：$\frac{11}{9}≤m≤3$
故得m的取值范圍是：$[\frac{11}{9}，3]$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，屬于中檔題