Question

13．已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，焦點(diǎn)為F，且|MF|=4．直線(xiàn)l：y=2x-4與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）若P是x軸上一點(diǎn)，且△PAB的面積等于9，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）代入計(jì)算即可得出答案；
（Ⅱ）先求出AB的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）依題意得，$\frac{P}{2}$+3=4，∴p=2，
∴拋物線(xiàn)方程為C：y²=4x；
（Ⅱ）將直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的方程進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得，y²-2y-8=0，∴A（1，-2），B（4，4），
∴|AB|=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
設(shè)P（a，0），P到直線(xiàn)AB的距離為d，則d=$\frac{|2a-0-4|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{2|a-2|}{\sqrt{5}}$，
又S_△ABP=$\frac{1}{2}$|AB|•d，
代入計(jì)算可得，|a-2|=3，
∴a=5或a=-1，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，0）和（-1，0）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)的定義與方程，考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．