Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=60°，AP=AC=AD=2，E為CD的中點(diǎn)，M在AB上，且$\overrightarrow{AM}$=2$\overrightarrow{MB}$．
（I）求證：EM∥平面PAD；
（Ⅱ）求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ） 點(diǎn)F是線段PD上異于兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若滿足異面直線EF與AC所成角45°，求AF的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明EM∥平面PAD．
（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值．
（Ⅲ）令$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}，（0＜λ＜1）$，$\overrightarrow{PF}=λ（2，0，-2）$，求出$\overrightarrow{EF}=（2λ-1，-1，2-2λ）$，由此利用向量法能求出AF的長．

解答 證明：（Ⅰ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AC為y軸，AP為z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，
A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），$B（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}，0）$，P（0，0，2），…（2分）
設(shè)M（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，
∴$（x，y，z）=2（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-x，\frac{3}{2}-y，-z）$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}-2x}\\{y=3-2y}\\{z=-2z}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}\\{y=1}\\{z=0}\end{array}}\right.$，
∴$M（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1，0）$，…（3分）
∴$\overrightarrow{EM}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}-1，0，0）$，平面PAD的法向量$\overrightarrow p=（0，1，0）$…（4分）
∴$\overrightarrow{EF}•\overrightarrow p=0$，
∴$\overrightarrow{EF}⊥\overrightarrow p$，
又∵EM?平面PAD，
∴EM∥平面PAD，…（5分）
解：（Ⅱ）設(shè)平面PBC的法向量$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
∵$\overrightarrow{PC}=（0，2，-2），\overrightarrow{BC}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，0）$，
$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{y-z=0}\\{\sqrt{3}x+y=0}\end{array}}\right.$，令x=-1，
∴$y=\sqrt{3}，z=\sqrt{3}$
∴$\overrightarrow m=（-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，…（7分）
平面PAD的法向量$\overrightarrow p=（0，1，0）$，
設(shè)二面角所成的銳二面角為θ，
∴$cosθ=|{cos\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow p}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow m•\overrightarrow p}|}}{{|{\overrightarrow m}|•|{\overrightarrow p}|}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，
平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．…（9分）
（Ⅲ）令$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PD}，（0＜λ＜1）$，$\overrightarrow{PF}=λ（2，0，-2）$，
∴F（2λ，0，2-2λ）…（10分）
$\overrightarrow{EF}=（2λ-1，-1，2-2λ）$，
∴$|{cos\left?{\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{AC}}\right＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{AC}}|}}{{|{\overrightarrow{EF}}|•|{\overrightarrow{AC}}|}}=\frac{2}{{2\sqrt{{{（2λ-1）}^2}+1+{{（2-2λ）}^2}}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴4λ²-6λ+2=0，
∴$λ=\frac{1}{2}$或λ=1（舍）
∴F（1，0，1），
∴$|{AF}|=\sqrt{2}$．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．