Question

13．設α∈（0，$\frac{π}{2}$），且$sinα-cosα=\frac{1}{5}$
（1）求sin2α及sinα，cosα的值；
（2）設f（x）=5cos（2x-α）+cos2x（x∈R）
①求f（x）的最小正周期和圖象的對稱中心坐標；
②求f（x）在區(qū)間$[-\frac{11π}{24}，-\frac{5π}{24}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化簡，通過解方程求解即可．
（2）①利用正弦函數(shù)的周期的求法，以及對稱中心的求法求解即可．
②求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的值域求解即可．

解答 解：（1）∵$sinα-cosα=\frac{1}{5}$①
∴$1-2sinαcosα=\frac{1}{25}$
∴$sin2α=\frac{24}{25}$，1+2sinαcosα=$\frac{49}{25}$，
sinα+cosα=$\frac{7}{5}$②
聯(lián)立①，②解得：$sinα=\frac{4}{5}，cosα=\frac{3}{5}$．
（2）①f（x）=5cos（2x-α）+cos2x
=5cos2xcosα+5sin2xsinα+cos2x
=3cos2x+4sin2x+cos2x
=4（sin2x+cos2x）
=$4\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
令$2x+\frac{π}{4}=kπ，得：$$x=\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，（k∈Z）$
圖象的對稱軸方程為：$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}，0）（k∈Z）$．
②當x∈$[-\frac{11π}{24}，-\frac{5π}{24}]$，2x+$\frac{π}{4}∈[-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}]$，
∴$sin（2x+\frac{π}{4}）∈[-1，-\frac{1}{2}]$
∴f（x）的值域為：[$-4\sqrt{2}，-2\sqrt{2}]$

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，恒等變換的應用，直線函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用，考查計算能力．