Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，直線PC⊥平面ABC，E，F分別是PA，PC的中點(diǎn)．

（1）記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明；

（2）設(shè)（1）中的直線l與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且點(diǎn)Q滿足．記直線PQ與平面ABC所成的角為θ，異面直線PQ與EF所成的角為α，二面角E﹣l﹣C的大小為β．求證：sinθ=sinαsinβ．

Answer 1

【答案】（1）l∥平面PAC，見解析 （2）見解析

【解析】

（1）直線l∥平面PAC，證明如下：

連接EF，因?yàn)?/span>E，F分別是PA，PC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，

又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC．

而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．

因?yàn)?/span>l平面PAC，EF平面PAC，所以直線l∥平面PAC．

（2）（綜合法）如圖1，連接BD，由（1）可知交線l即為直線BD，且l∥AC．

因?yàn)?/span>AB是⊙O的直徑，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．

已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PC⊥l．

而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．

連接BE，BF，因?yàn)?/span>BF平面PBC，所以l⊥BF．

故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．

由，作DQ∥CP，且．

連接PQ，DF，因?yàn)?/span>F是CP的中點(diǎn)，CP=2PF，所以DQ=PF，

從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQ∥FD．

連接CD，因?yàn)?/span>PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內(nèi)的射影，

故∠CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．

又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分別可得，

從而．

（2）（向量法）如圖2，由，作DQ∥CP，且．

連接PQ，EF，BE，BF，BD，由（1）可知交線l即為直線BD．

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)CA=a，CB=b，CP=2c，則有

．

于是，

∴=，從而，

又取平面ABC的一個(gè)法向量為，可得，

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為，

所以由可得．

于是，從而．

故，即sinθ=sinαsinβ．