【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都有.

（1）求證：；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使不等式，對(duì)一切正整數(shù)都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）存在；的取值范圍是.

【解析】

（1）由題得①，②，②－①即得；

（2）由題得.，再對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）令，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出其最大值，解不等式即得解.

（1）證明：∵①，

∴②

由②－①得，

∴.

（2）∵③

∴，④

④－③，得.

從而數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為；

數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)也依次成等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為.

在①中令得，又∵，∴.

在③中令得，∴.

∴當(dāng)時(shí)，，；

∴當(dāng)時(shí)，，；

綜上所述，.

（3）令，則

且

∴，

∴單調(diào)遞減，

∴.

∴不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立等價(jià)于對(duì)一切正整數(shù)都成立，

等價(jià)于，即.

∴，即，

解之得，或.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)的適合題意，的取值范圍是.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2019年女排世界杯（第13屆女排世界杯）是由國(guó)際排聯(lián)舉辦的賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍.本次比賽啟用了新的排球用球_，已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)ξ（單位：）服從正態(tài)分布.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍.積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以或取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為中國(guó)隊(duì)和美國(guó)隊(duì)，中國(guó)隊(duì)積26分，美國(guó)隊(duì)積22分.第10輪中國(guó)隊(duì)對(duì)抗塞爾維亞隊(duì)，設(shè)每局比賽中國(guó)隊(duì)取勝的概率為.

（1）如果比賽準(zhǔn)備了1000個(gè)排球，估計(jì)質(zhì)量指標(biāo)在內(nèi)的排球個(gè)數(shù)（計(jì)算結(jié)果取整數(shù)）

（2）第10輪比賽中，記中國(guó)隊(duì)取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為p的值，解決下列問(wèn)題.

（i）在第10輪比賽中，中國(guó)隊(duì)所得積分為X，求X的分布列；

（ii）已知第10輪美國(guó)隊(duì)積3分，判斷中國(guó)隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，中國(guó)隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：，則，

，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）= （a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在 上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值；

（Ⅲ）若對(duì)任意給定的x0∈（0，e]，在（0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，PA∥CE，AB=CEPA，PA⊥平面ABCD.

（1）證明：PE⊥平面DBE；

（2）求二面角B﹣PD﹣E的正弦值的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）在（1）的條件下，求證：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極大值點(diǎn)，且．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）試比較與的大小.

（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，

①求的取值范圍；

②證明：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)數(shù)是簡(jiǎn)化繁雜運(yùn)算的產(chǎn)物.16世紀(jì)時(shí)，為了簡(jiǎn)化數(shù)值計(jì)算，數(shù)學(xué)家希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法.當(dāng)時(shí)已經(jīng)有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這在某些情況下是可以實(shí)現(xiàn)的.

比如，利用以下2的次冪的對(duì)應(yīng)表可以方便地算出的值.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

16

32

64

128

256

512

1024

2048

4096

首先，在第二行找到16與256；然后找出它們?cè)诘谝恍袑?duì)應(yīng)的數(shù)，即4與8，并求它們的和，即12；最后在第一行中找到12，讀出其對(duì)應(yīng)的第二行中的數(shù)4096，這就是的值.

用類(lèi)似的方法可以算出的值，首先，在第二行找到4096與128；然后找出它們?cè)诘谝恍袑?duì)應(yīng)的數(shù)，即12與7，并求它們的______；最后在第一行中找到______，讀出其對(duì)應(yīng)的第二行中的數(shù)______，這就是值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若的面積最大時(shí)且最大面積為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線：與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限內(nèi)的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】隨機(jī)調(diào)查某城市80名有子女在讀小學(xué)的成年人，以研究晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)時(shí)間段輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)表：

　　　　是否輔導(dǎo)

性別

輔導(dǎo)

不輔導(dǎo)

合計(jì)

男

25

60

女

合計(jì)

40

80

（1）請(qǐng)將表中數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整；

（2）用樣本的頻率估計(jì)總體的概率，估計(jì)這個(gè)城市有子女在讀小學(xué)的成人女性晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)輔導(dǎo)子女作業(yè)的概率；

（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有99%以上的把握認(rèn)為“晚上八點(diǎn)至十點(diǎn)時(shí)間段是否輔導(dǎo)子女作業(yè)與性別有關(guān)？”.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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