Question

3．如圖，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，現(xiàn)△ADE將沿DE折起，得四棱錐A-BCDE．

（1）求證：EF∥平面ABC；
（2）若平面ADE⊥平面BCDE，求四面體FACE的體積．

Answer 1

分析 （1）取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MB，推導(dǎo)出四邊形BEFM為平行四邊形，從而EF∥BM，由此能證明EF∥平面ABC．
（2）推導(dǎo)出CE為三棱錐C-EFD的高，由此能求出四面體FACE的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△EFA}×CE$．由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）取線段AC的中點(diǎn)M，連結(jié)MF、MB，
∵F是AD的中點(diǎn)，∴MF∥CD，且MF=$\frac{1}{2}CD$，
在折疊前，四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，
∴BE∥CD，且BE=$\frac{1}{2}$CD，
∴MF∥BE，且MF=BE，
∴四邊形BEFM為平行四邊形，故EF∥BM，
又EF?平面ABC，BM?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．
解：（2）在折疊前，四邊形ABCD為矩形，AD=2，AB=4，E為AB的中點(diǎn)，
∴△ADE、△CBE都是等腰直角三角形，且AD=AE=EB=BC=2，
∴∠DEA=∠CEB=45°，且DE=EC=2$\sqrt{2}$，
又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°，∴∠DEC=90°，
又平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE，CE?平面BCDE，
∴CE⊥平面ADE，即CE為三棱錐C-EFD的高，
∵F為AD的中點(diǎn)，∴${S}_{△EFA}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×AD×AE=\frac{1}{4}×2×2=1$，
∴四面體FACE的體積V=$\frac{1}{3}×{S}_{△EFA}×CE=\frac{1}{3}×1×2\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．