Question

14．設(shè)圓x²+y²+4x-32=0的圓心為A，直線l過點(diǎn)B（2，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E．
（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C₁，直線l交C₁于M，N兩點(diǎn)，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求四邊形MPNQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求得圓A的圓心和半徑，運(yùn)用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可得EB=ED，再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，求得a，b，c，即可得到所求軌跡方程；
（2）分類討論，設(shè)直線l代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，可得|MN|，由PQ⊥l，設(shè)PQ方程，求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得|PQ|，再由四邊形的面積公式，化簡整理，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）因?yàn)閨AD|=|AC|，EB∥AC，故∠EBD=∠ACD=∠ADC，
所以|EB|=|ED|，故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，
又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+y²=36，從而|AD|=6，所以|EA|+|EB|=6，
由題設(shè)得A（-2，0），B（2，0），|AB|=4＜|EA|+|EB|，
由橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1（y≠0）．
（2）當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2）（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由直線與橢圓方程，聯(lián)立得（9k²+5）x²-36k²x+36k²-45=0，
則x₁+x₂=$\frac{36{k}^{2}}{9{k}^{2}+5}$，x₁x₂=$\frac{36{k}^{2}-45}{9{k}^{2}+5}$，
所以|MN|=$\frac{30（{k}^{2}+1）}{9{k}^{2}+5}$
過點(diǎn)B（2，0）且與l垂直的直線m：y=-$\frac{1}{k}$（x-2），點(diǎn)A到m的距離為$\frac{4}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
所以|PQ|=2$\sqrt{36-\frac{16}{{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{\frac{9{k}^{2}+5}{{k}^{2}+1}}$，
故四邊形MPNQ的面積S=$\frac{1}{2}$|MN||PQ|=20$\sqrt{1+\frac{1}{9{k}^{2}+5}}$．
可得當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，由k≠0，得四邊形MPNQ面積的取值范圍為（20，12$\sqrt{5}$）．
當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，其方程為x=2，四邊形MPNQ的面積為20．
綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍為[20，12$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．