Question

1．已知橢圓C的焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），長軸長為2$\sqrt{5}$，設直線y=2x-2交橢圓C于A、B兩點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）O為坐標原點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓長軸長求出a，焦點坐標求出c，然后求解橢圓的半短軸長，即可得到橢圓的標準方程．
（2）流量直線與橢圓方程，通過弦長公式，以及點到直線的距離公式求出距離，然后求解三角形的面積．

解答 解：（ 1）由長軸長為$2\sqrt{5}$，所以$a=\sqrt{5}$，又由c=1
得：b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，所以b=2，
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$．
（2）由（1）可知橢圓方程為 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$①，
∵直線AB的方程為y=2x-2   ②
把②代入①得化簡并整理得3x²-5x=0
∴${x_1}+{x_2}=\frac{5}{3}，{x_1}{x_2}=.0$
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{5\sqrt{5}}}{3}$，坐標原點到直線的距離為：$d=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
∴$s=\frac{1}{2}×\frac{{5\sqrt{5}}}{3}×\frac{{2\sqrt{5}}}{5}=\frac{5}{3}$．

點評 本題考查直線和橢圓的位置關(guān)系的應用，橢圓方程的求法，考查計算能力．